Пространства Lp и теорема Фубини

Зачем нужны пространства функций

После введения интеграла Лебега естественно спросить: какие функции «хорошо себя ведут»? Для чего нам вообще нужен класс функций, а не просто отдельные функции? Ответ — задачи анализа редко живут в «одной функции». Мы приближаем функции рядами, ищем решения уравнений в классе функций, изучаем сходимость последовательностей функций. Для всего этого нужно метрическое пространство функций — множество с понятием расстояния, которое позволяет говорить о близости, сходимости, полноте.

Пространства Lᵖ — это правильные функциональные пространства для анализа, теории вероятностей, обработки сигналов и квантовой механики.

Пространства Lᵖ: определение и норма

Пусть (X, μ) — пространство с мерой. Для 1 ≤ p < ∞:

Lᵖ(X, μ) — пространство (классов) измеримых функций f: X → ℝ таких, что ∫_X |f(x)|ᵖ dμ(x) < ∞.

Норма: ‖f‖_p = (∫_X |f|ᵖ dμ)^{1/p}.

Технически, L^p состоит из классов эквивалентности: f ~ g если f = g почти всюду (μ-а.в.). Это делает ‖f − g‖_p = 0 эквивалентным f = g а.в., что нужно для невырожденности нормы.

Пространство L^∞(X, μ): функции с конечной существенной нормой ‖f‖_∞ = esssup|f| = inf{M: |f| ≤ M а.в.}. Это предел ‖f‖_p при p → ∞.

Конкретные случаи:

• L²([0,1]): функции с конечной «средней квадратичной» нормой. Квадратично-интегрируемые функции.
• l²: последовательности (aₙ) с Σ|aₙ|² < ∞. Счётный аналог L².
• L¹([0,1]): абсолютно интегрируемые функции. Норма = ∫₀¹|f|dx.

Неравенство Гёльдера и Минковского

Неравенство Гёльдера: Если f ∈ Lᵖ, g ∈ Lq, где 1/p + 1/q = 1 (p и q — сопряжённые показатели), то fg ∈ L¹ и:

‖fg‖₁ = ∫|fg| dμ ≤ ‖f‖_p · ‖g‖_q.

Это обобщение неравенства Коши–Буняковского (случай p = q = 2): ∫|fg| ≤ √(∫f²) · √(∫g²).

Применение: Для p = 2, q = 2: |E[XY]| ≤ √(E[X²]) · √(E[Y²]) — неравенство для моментов в теории вероятностей.

Неравенство Минковского: ‖f + g‖_p ≤ ‖f‖_p + ‖g‖_p. Это треугольное неравенство для нормы Lᵖ — именно оно гарантирует, что Lᵖ — нормированное пространство.

Теорема Рисса–Фишера (полнота): Lᵖ — банахово пространство (полное нормированное пространство). Любая сходящаяся по норме последовательность имеет предел в Lᵖ. Это свойство, не выполняющееся для пространства непрерывных функций C[a,b] с нормой Lᵖ.

Пространство L²: гильбертова структура

L²(X, μ) выделяется среди всех Lᵖ: при p = 2 норма порождается скалярным произведением:

(f, g) = ∫_X f(x) g(x) dμ(x), ‖f‖₂ = √(f,f).

L²(X, μ) — гильбертово пространство: банахово пространство с внутренним произведением. Это бесконечномерный аналог евклидова пространства ℝⁿ.

Ортонормированный базис в L²[−π, π]: функции {1/√(2π), cos(nx)/√π, sin(nx)/√π}_{n≥1} образуют ортонормированный базис. Разложение в ряд Фурье — это разложение по базису гильбертова пространства L².

Равенство Парсеваля: ‖f‖₂² = |a₀|²/2 + Σ(|aₙ|² + |bₙ|²) — «теорема Пифагора» в бесконечномерном пространстве.

В квантовой механике: состояние системы — это вектор в L²(ℝ³) (волновая функция ψ), ‖ψ‖₂ = 1 (нормировка). Наблюдаемые — самосопряжённые операторы в L².

Теорема Фубини и Тонелли

Для кратных интегралов по Лебегу центральный результат — возможность менять порядок интегрирования.

Теорема Тонелли (для неотрицательных функций): Если f ≥ 0 измерима на X × Y (с σ-конечными мерами μ, ν), то:

∫_{X×Y} f d(μ×ν) = ∫_X [∫_Y f(x,y) dν(y)] dμ(x) = ∫_Y [∫_X f(x,y) dμ(x)] dν(y),

причём оба повторных интеграла определены (возможно = +∞) без каких-либо условий.

Теорема Фубини (для интегрируемых функций): Если ∫_{X×Y} |f| d(μ×ν) < ∞, то:

1. Для μ-почти всех x функция y ↦ f(x,y) интегрируема по ν.
2. Функция x ↦ ∫_Y f(x,y) dν(y) интегрируема по μ.
3. ∫_{X×Y} f d(μ×ν) = ∫_X [∫_Y f(x,y) dν(y)] dμ(x).

Предупреждение: без условия интегрируемости Фубини может давать разные ответы при разных порядках! Классический пример: f(x,y) = (x²−y²)/(x²+y²)² на [0,1]×[0,1]. ∫₀¹∫₀¹ f dx dy = π/4 ≠ −π/4 = ∫₀¹∫₀¹ f dy dx. Причина: ∫∫|f| = +∞, условие Фубини не выполнено.

Теорема Радона–Никодима и условное ожидание

Теорема Радона–Никодима: Если ν ≪ μ (ν абсолютно непрерывна относительно μ: из μ(E) = 0 следует ν(E) = 0), то существует единственная функция f ∈ L¹(μ) (производная Радона–Никодима) такая, что ν(E) = ∫_E f dμ для всех измеримых E.

Обозначение: f = dν/dμ.

Применения в статистике. Если вероятностная мера P «имеет плотность» p(x) по мере Лебега λ, то P ≪ λ и p = dP/dλ — обычная функция плотности вероятности.

Условное математическое ожидание E[X|G], где G — σ-подалгебра, определяется как единственная G-измеримая функция Z с ∫_A Z dP = ∫_A X dP для всех A ∈ G. Это применение теоремы Радона–Никодима — одна из вершин теории вероятностей.

Вопрос для размышления: Покажите, что непрерывные функции C[0,1] плотны в L²[0,1]: для любого f ∈ L²[0,1] и ε > 0 найдётся непрерывная g с ‖f − g‖₂ < ε. Почему это важно для численного анализа?