Преобразование Фурье и теорема Планшереля

Идея: разложить сигнал по частотам

Ряды Фурье разлагают периодическую функцию по частотам 1/T, 2/T, 3/T, ... Но что делать с непериодическим сигналом — например, конечным импульсом или функцией на всей вещественной оси? Шаг к непериодическому случаю: увеличим период T → ∞. Дискретный набор частот n/T становится непрерывным спектром, а сумма ряда Фурье превращается в интеграл. Так рождается преобразование Фурье.

Это один из самых универсальных инструментов математики — он одновременно работает в теории чисел, квантовой механике, теории дифференциальных уравнений, статистике, обработке сигналов и машинном обучении.

Преобразование Фурье на L¹(ℝ)

Для f ∈ L¹(ℝ) (абсолютно интегрируемой функции) преобразование Фурье определяется как:

f̂(ω) = ℱf = ∫_{-∞}^{∞} f(x) e^{-iωx} dx.

(Используется соглашение с e^{-iωx}; в физике часто e^{-2πiξx}, в технике — e^{-jωt}.)

Смысл: f̂(ω) — «вес» частоты ω в сигнале f. Если f — звук, то f̂ — спектр: амплитуда каждой частоты. Большое |f̂(ω)| означает, что частота ω сильно представлена в сигнале.

Элементарные свойства:

Линейность: (αf + βg)^ = αf̂ + βĝ.

Сдвиг по x: (f(x − a))^(ω) = e^{−iaω} f̂(ω). Сдвиг сигнала меняет фазу, но не амплитуду спектра.

Сдвиг по ω: (e^{ibx} f(x))^(ω) = f̂(ω − b). Модуляция сигнала смещает спектр.

Масштабирование: (f(ax))^(ω) = (1/|a|) f̂(ω/a). Сжатие сигнала расширяет спектр.

Дифференцирование: (f^{(n)}(x))^(ω) = (iω)ⁿ f̂(ω). Дифференцирование → умножение на iω!

Свёртка: (f * g)^(ω) = f̂(ω) · ĝ(ω). Свёртка в пространстве = умножение в спектре.

Формула обращения и пространство Шварца

Формула обращения: При подходящих условиях на f:

f(x) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} f̂(ω) e^{iωx} dω.

Чтобы всё это работало без технических оговорок, вводят пространство Шварца S(ℝ) — гладкие функции, быстро убывающие вместе со всеми производными: φ ∈ S тогда и только тогда, когда |xⁿ φ^{(k)}(x)| → 0 при |x| → ∞ для всех n, k ≥ 0. Это «идеальные» функции: е^{−x²}, функции с компактным носителем (из класса C∞).

Преобразование Фурье — изоморфизм S(ℝ) → S(ℝ). Все свойства (дифференцирование, обращение, свёртка) работают на S безупречно.

Вычисление примеров

Прямоугольный импульс. f(x) = 1 при |x| ≤ a и 0 иначе.

f̂(ω) = ∫{-a}^{a} e^{-iωx} dx = [e^{-iωx}/(−iω)]{-a}^{a} = 2 sin(aω)/ω = 2a sinc(aω/π).

Спектр — функция sinc: основной лепесток шириной 2π/a, убывающие боковые лепестки. Более узкий прямоугольник → более широкий спектр. Это проявление принципа неопределённости.

Гауссова функция. f(x) = e^{-x²/2}.

f̂(ω) = √(2π) e^{-ω²/2}.

Гаусс переходит в гаусс! Это единственная функция (с точностью до масштаба), являющаяся собственной функцией преобразования Фурье.

Дельта-функция. δ(x) — «функция», равная 0 везде, кроме x = 0, с ∫δ(x) dx = 1. В смысле обобщённых функций: δ̂(ω) = 1 (спектр постоянен по всем частотам — «белый шум»). Обратно: 1̂(ω) = 2πδ(ω).

Теорема Планшереля: продолжение на L²

Преобразование Фурье определено на L¹, но многие функции из L² не входят в L¹ (например, f(x) = sin(x)/x). Как определить ℱ на L²?

Теорема Планшереля (1910): Преобразование Фурье, определённое сначала на L¹ ∩ L², продолжается до унитарного оператора ℱ: L²(ℝ) → L²(ℝ), причём:

‖f̂‖{L²} = √(2π) ‖f‖{L²} (равенство Парсеваля–Планшереля).

В нормировке с коэффициентом 1/√(2π) перед интегралом это превращается в ‖f̂‖ = ‖f‖: Фурье — изометрия, сохраняющая L²-норму («энергию»).

«Унитарность» означает: ℱℱ = I (ℱ⁻¹ = ℱ, где ℱ* — сопряжённый оператор). В физике: энергия сигнала = энергия его спектра.

Принцип неопределённости Гейзенберга

Пусть f ∈ L²(ℝ) нормирована: ‖f‖₂ = 1. Определим «разброс» функции по x и по ω:

Δx = ‖(x − ⟨x⟩) f‖₂, Δω = ‖(ω − ⟨ω⟩) f̂/√(2π)‖₂.

Теорема (неравенство Гейзенберга): Δx · Δω ≥ 1/2.

Равенство достигается только для гауссовых функций. Чем точнее локализован сигнал по времени — тем шире его спектр, и наоборот.

В квантовой механике: x̂ — оператор координаты, p̂ = −iℏ d/dx — оператор импульса. Принцип неопределённости: σ_x · σ_p ≥ ℏ/2. Математически это то же неравенство Гейзенберга, переписанное на физическом языке.

Решение УЧП методом Фурье

Уравнение теплопроводности: ∂u/∂t = k ∂²u/∂x², u(x,0) = f(x), x ∈ ℝ, t > 0.

Применяем ℱ по x: ∂û/∂t = k(iω)² û = −kω² û. Это ОДУ по t с начальным условием û(ω,0) = f̂(ω):

û(ω,t) = f̂(ω) e^{-kω²t}.

Обратное Фурье: u(x,t) = (f * G_t)(x), где ядро Гаусса G_t(x) = 1/√(4πkt) · e^{-x²/(4kt)}.

Смысл: начальный профиль температуры сглаживается гауссовой «размазкой» с шириной √(4kt). Это согласуется с физикой: тепло «растекается» со временем.

Быстрое преобразование Фурье (FFT)

Дискретное преобразование Фурье (DFT) для вектора (x₀,...,xₙ₋₁): Xₖ = Σₙ₌₀^{N-1} xₙ e^{-2πi nk/N}.

Прямое вычисление: O(N²) операций. Алгоритм Кули–Тьюки (FFT, 1965): O(N log N), основан на рекурсивном разбиении N = 2^m.

При N = 10⁶ прямой расчёт: 10¹² операций; FFT: ≈ 2·10⁷ операций — в 50 000 раз быстрее! FFT вошёл в список 10 важнейших алгоритмов XX века (журнал Computing in Science & Engineering, 2000).

Применения FFT: сжатие аудио (MP3: выбрасываем частоты с малым |f̂|), сжатие изображений (JPEG: дискретное косинусное преобразование — родственник DFT), умножение больших чисел (через свёртку), анализ временных рядов, медицинская томография (МРТ — восстановление изображения из Фурье-срезов).

Вопрос для размышления: почему при сжатии MP3 выбрасывание высокочастотных компонентов f̂(ω) при больших |ω| даёт небольшой слышимый эффект, а при сжатии JPEG удаление высокочастотных компонент 2D-Фурье создаёт характерные «блочные» артефакты? Как принцип неопределённости Гейзенберга объясняет компромисс между сжатием и качеством?