Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Великое объединение XIX века

В 1865 году Джеймс Клерк Максвелл опубликовал систему уравнений, объединивших электричество, магнетизм и свет в единую теорию. До Максвелла казалось, что это три разных явления природы. После него стало ясно: свет — это электромагнитная волна, и предсказания теории поразительно совпали с опытом.

Уравнения Максвелла записаны с помощью операторов векторного анализа: дивергенция ∇· и ротор ∇×. Они позволяют записать законы локально — в каждой точке пространства.

Четыре уравнения Максвелла

Закон Гаусса для электрического поля:

∇·E = ρ/ε₀

Читается: «дивергенция электрического поля E пропорциональна плотности электрического заряда ρ». Физически: электрические линии поля «вытекают» из зарядов. Заряд является источником E-поля.

Символы: E — вектор электрического поля (В/м); ρ — объёмная плотность заряда (Кл/м³); ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная вакуума.

Закон Гаусса для магнитного поля:

∇·B = 0

Читается: «дивергенция магнитного поля B равна нулю». Физически: магнитных монополей не существует — магнитные линии поля всегда замкнуты. Нет магнитного «заряда».

Закон Фарадея:

∇×E = −∂B/∂t

Читается: «ротор E равен отрицательной скорости изменения B». Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое. Это принцип работы трансформатора: переменный ток в первичной обмотке создаёт изменяющееся B, которое индуцирует ЭДС во вторичной обмотке.

Закон Ампера–Максвелла:

∇×B = μ₀(J + ε₀ ∂E/∂t)

Читается: «ротор магнитного поля создаётся токами (J) и токами смещения (ε₀ ∂E/∂t)». Добавка Максвелла — ток смещения ε₀ ∂E/∂t — ключевая. Без неё система противоречива при нестационарных зарядах. С ней предсказывается распространение электромагнитных волн.

Символы: B — вектор магнитной индукции (Тл); μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Гн/м — магнитная постоянная; J — вектор плотности тока (А/м²).

Следствие: волновые уравнения

В вакууме (ρ = 0, J = 0) из уравнений Максвелла следуют волновые уравнения:

∇²E − (1/c²) ∂²E/∂t² = 0 ∇²B − (1/c²) ∂²B/∂t² = 0

Скорость электромагнитных волн: c = 1/√(μ₀ε₀). Подставив числа: c = 1/√(4π·10⁻⁷ × 8.85·10⁻¹²) ≈ 3 × 10⁸ м/с — это скорость света! Максвелл предсказал, что свет — электромагнитная волна.

Плоская волна: E = E₀ cos(kx − ωt) ŷ, B = (E₀/c) cos(kx − ωt) ẑ. Здесь k = ω/c — волновой вектор, λ = 2π/k — длина волны. E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения x.

Числовой пример: электростатика точечного заряда

Заряд q в начале координат: ρ = q δ³(r). Из ∇·E = ρ/ε₀ (интегрируя по сфере радиуса r): 4πr² E = q/ε₀ → E = q/(4πε₀r²) — закон Кулона! Уравнение Максвелла воспроизводит известный результат.

Электромагнитные потенциалы и калибровочная инвариантность

Вместо E и B удобно ввести потенциалы: B = ∇×A (вектор-потенциал) и E = −∇φ − ∂A/∂t. Автоматически: ∇·B = 0 (т.к. ∇·(∇×A) = 0) и ∇×E = −∂B/∂t ✓.

Калибровочная инвариантность: замена A → A + ∇χ, φ → φ − ∂χ/∂t (χ — произвольная функция) не меняет E и B. Это фундаментальная симметрия, обобщённая в квантовой электродинамике до U(1) калибровочной симметрии.

Реальное приложение: сотовая связь и Wi-Fi

Стандарт LTE работает на частотах 700–2600 МГц. Длины волн 11.5 см–43 см. Антенна передатчика — это электрический диполь, создающий осциллирующее E-поле, которое через уравнения Максвелла генерирует B-поле и так далее — распространяется волна. Wi-Fi на 2.4 ГГц: длина волны 12.5 см. Проникновение через стены определяется затуханием (диэлектрические потери в материалах) — прямое следствие уравнений Максвелла в среде.

Калибровочная симметрия и Стандартная модель: Калибровочная инвариантность уравнений Максвелла — частный случай U(1) симметрии. Стандартная модель физики частиц строится на трёх калибровочных группах: U(1) (электромагнетизм), SU(2) (слабое взаимодействие), SU(3) (сильное взаимодействие). Уравнения Максвелла — образец, по которому построены все три теории.

Уравнения Максвелла в современных технологиях

Уравнения Максвелла лежат в основе всей электромагнитной техники. Проектирование антенн, волноводов и радиочастотных цепей выполняется с помощью численного решения этих уравнений методами конечных разностей во временной области (FDTD) и конечных элементов. Беспроводные коммуникации — от AM/FM-радио до спутниковой связи и стандартов Wi-Fi — требуют точного понимания распространения электромагнитных волн. В медицинской диагностике МРТ использует переменные магнитные поля для возбуждения ядерных спинов, а анализ поля в тканях ведётся на основе макроскопических уравнений Максвелла с учётом диэлектрической проницаемости биологических сред. Оптические волокна, по которым передаётся интернет-трафик, используют полное внутреннее отражение — следствие граничных условий Максвелла на интерфейсе стекло–воздух. В лазерной технологии явление стимулированного излучения описывается взаимодействием квантового осциллятора с электромагнитным полем, а полупроводниковые лазеры для передачи данных по оптоволокну работают именно на основе уравнений Максвелла в активной среде. Квантовая электродинамика расширяет уравнения Максвелла на квантовый уровень, однако в макроскопическом пределе возвращается к классическим четырём уравнениям.

Задание: (а) Из ∇×B = μ₀(J + ε₀∂E/∂t) и ∇·E = ρ/ε₀ выведите уравнение непрерывности: ∂ρ/∂t + ∇·J = 0. (б) Монохроматическая волна E = E₀ sin(kz − ωt) x̂. Найдите B. Проверьте все 4 уравнения Максвелла в вакууме. (в) Вычислите вектор Пойнтинга S = (E×B)/μ₀ — усреднённый поток энергии. При E₀ = 1 В/м: найдите интенсивность волны.