Точные решения: квантовый осциллятор и атом водорода

Значение точных решений

Большинство квантовых задач решаются численно или приближённо. Но два особых случая имеют точное аналитическое решение: квантовый гармонический осциллятор и атом водорода. Они служат «строительными блоками» для всей квантовой физики — от молекулярных колебаний до спектров атомов, от фотонов в поле до ядерных состояний.

Квантовый гармонический осциллятор

Потенциал: V(x) = mω²x²/2. Гамильтониан: Ĥ = p̂²/(2m) + mω²x̂²/2.

Алгебраический метод — операторы лестницы. Введём безразмерные операторы:

â = √(mω/2ℏ) (x̂ + ip̂/mω) — оператор уничтожения ↠= √(mω/2ℏ) (x̂ − ip̂/mω) — оператор рождения

Их коммутатор: [â, â†] = 1. Гамильтониан через них: Ĥ = ℏω(â†â + 1/2) = ℏω(N̂ + 1/2), где N̂ = â†â — оператор числа квантов.

Собственные значения: Из [N̂, â†] = ↠следует, что â†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩ (↠«поднимает» на уровень выше), и â|n⟩ = √n|n−1⟩ (â «опускает»). Основное состояние: â|0⟩ = 0. Все уровни: Eₙ = ℏω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, ...

Ключевые выводы: энергия квантована (только дискретные значения); нулевая энергия E₀ = ℏω/2 ≠ 0 — квантовое «нулевое колебание», следствие принципа неопределённости; уровни равноотстоят (ΔE = ℏω = const).

Волновые функции: ψₙ(x) = (mω/πℏ)^{1/4} · (1/√(2ⁿn!)) · Hₙ(ξ) · e^{−ξ²/2}, где ξ = √(mω/ℏ)x, Hₙ(ξ) — полиномы Эрмита.

H₀ = 1, H₁ = 2ξ, H₂ = 4ξ² − 2. Функции ψₙ имеют n нулей — узлов — число узлов растёт с n.

Числовой пример: Молекула CO, частота колебаний ν = 6.5 × 10¹³ Гц. Квант колебательной энергии: ℏω = hν ≈ 6.626×10⁻³⁴ × 6.5×10¹³ ≈ 0.269 эВ. При T = 300 К тепловая энергия kT ≈ 0.026 эВ << 0.269 эВ → молекула в основном состоянии. Колебательное возбуждение CO требует инфракрасных фотонов λ ≈ 4.6 мкм.

Атом водорода

Задача: электрон в кулоновском потенциале протона V(r) = −e²/(4πε₀r).

Разделение переменных: ψ(r, θ, φ) = R(r) · Y_l^m(θ, φ). В сферических координатах уравнение Шрёдингера разделяется на радиальную и угловую части.

Угловая часть — сферические гармоники: Ĵ²Y_l^m = ℏ²l(l+1)Y_l^m, ĴzY_l^m = ℏm Y_l^m. Квантовые числа: l = 0, 1, 2, ... (орбитальное); m = −l, −l+1, ..., l (магнитное). Сферические гармоники Y_l^m(θ,φ) — полный ортонормированный базис на сфере. Они описывают угловую структуру орбиталей (форму s, p, d орбиталей).

Уровни энергии: Eₙ = −(me⁴)/(2ℏ²(4πε₀)²) · 1/n² = −13.6 эВ/n², n = 1, 2, 3, ...

Главное квантовое число n определяет энергию. При l = 0: s-орбиталь (сферически симметричная). При l = 1: p-орбиталь (гантелевидная). При l = 2: d-орбиталь.

Вырождение: при каждом n: l = 0, 1, ..., n−1; m = −l, ..., l. Полное число состояний: Σ_{l=0}^{n-1}(2l+1) = n². При учёте спина (s = ±1/2): 2n² состояний. Именно это вырождение объясняет структуру периодической таблицы!

Размер атома: Боровский радиус a₀ = ℏ²(4πε₀)/(me²) ≈ 0.529 Å ≈ 0.53 × 10⁻¹⁰ м. Максимум |ψ_{100}|² при r = a₀.

Реальные приложения

Атомная спектроскопия: Фотон с длиной волны λ поглощается при переходе n→n': 1/λ = R_H(1/n'² − 1/n²), R_H = 1.097 × 10⁷ м⁻¹ — постоянная Ридберга. Серия Лаймана (n'=1): ультрафиолет. Серия Бальмера (n'=2): видимый свет. Именно серия Бальмера наблюдается в спектрах звёзд.

Квантовые числа и химия: Ковалентная связь — перекрытие орбиталей. Форма молекул определяется симметрией орбиталей. Периодическая таблица — прямое следствие заполнения орбиталей: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² ...

Вырождение уровней водорода снимается при учёте тонкой структуры (спин-орбитальное взаимодействие, ΔE ~ α²) и сверхтонкой структуры (взаимодействие со спином ядра, ΔE ~ α⁴). Сверхтонкое расщепление основного уровня водорода (21 см, 1420 МГц) используется в радиоастрономии и в атомных часах с погрешностью порядка 10⁻¹⁸.

Точные решения в атомной спектроскопии и лазерной физике

Аналитические решения квантовой механики имеют прямые технологические приложения. Дискретный спектр атома водорода стал исторической проверкой теории и по сей день служит опорой атомной спектроскопии. Серии Лаймана, Бальмера, Пашена и Брэкета используются для анализа состава звёзд, плазмы и газовых разрядов в промышленных приложениях. Гармонический осциллятор — основа описания молекулярных колебаний: инфракрасная спектроскопия позволяет идентифицировать молекулярные группы по частотам растяжения связей, близким к формуле квантованных уровней. Лазеры с перестраиваемой частотой используют пространственные моды резонатора, близкие к гауссовым пучкам — суперпозиции функций гармонического осциллятора. Теория возбуждённых состояний атомов, основанная на точных решениях водородоподобных ионов, применяется при разработке квантовых стандартов частоты — атомных часов с погрешностью менее 10⁻¹⁸ секунды. Квантовые каскадные лазеры для среднего инфракрасного диапазона работают на переходах между подзонами квантовой ямы — прямое приложение решения задачи «ямы» с бесконечными стенками — и используются в спектроскопии атмосферных газов и обнаружении взрывчатых веществ.

Задание: (а) Для гармонического осциллятора вычислите ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨p⟩, ⟨p²⟩ в состоянии |n⟩ (через â и â†). Проверьте: ΔxΔp = ℏ(n + 1/2) ≥ ℏ/2. (б) Атом водорода: вычислите ⟨r⟩ и ⟨r²⟩ в состоянии ψ₁₀₀. Как связаны с a₀? (в) Переход 3→2 в водороде: вычислите длину волны. К какой серии относится? Какой цвет видимого спектра?